ANÁLISIS MATEMÁTICO II - PÁGINA DE CÁTEDRA

1. Geometría del plano y el espacio

Nociones elementales de cónicas y cuádricas. Coordenadas polares. Nociones elementales de Topología en el plano y el espacio tridimensional real: conjuntos abiertos y cerrados, entorno, frontera, puntos de acumulación, conjuntos conexos y simplemente conexos.

2. Funciones y límites. Derivadas parciales

Funciones escalares. Conjuntos de nivel. Funciones vectoriales. Límite y continuidad. Derivada de funciones escalares y vectoriales. Derivadas parciales. Definición de curva. Parametrización de curvas. Vector tangente. Vectores velocidad aceleración. Rapidez.

3. Diferenciación

Definición de función diferenciable. Continuidad y derivabilidad. Matriz Jacobiana. Vector gradiente. Derivada direccional. Teorema del valor medio. Definición de superficies. Parametrización de superficies, líneas coordenadas. Plano tangente y recta normal a una superficie.

4. Funciones compuestas y funciones implícitas

Composición de funciones. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas. Campos escalares y vectoriales. Funciones definidas implícitamente. Teorema de existencia. Jacobianos.

5. Fórmula de Taylor. Extremos relativos. Extremos condicionados

Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Diferenciales totales sucesivas. Fórmula de Taylor. Puntos estacionarios. Extremos absolutos y relativos. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Condición suficiente. Hessiano. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.

6. Ecuaciones diferenciales Ordinarias (EDO)

Definición de ecuación diferencial. Soluciones. Ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuación a variables separables, ecuación lineal de primer orden y ecuación de Bernoulli. Trayectorias ortogonales.

7. Integrales de línea

Curvas de Jordan. Puntos regulares y singulares. Longitud de arco. Parámetro intrínseco. Definición de integral de línea de campos escalares y vectoriales. Propiedades. Trabajo. Circulación. Aplicaciones geométricas y físicas. Campos de gradientes. Propiedades. Función potencial. Condición necesaria y suficiente para la existencia de una función potencial. Ecuación diferencial total exacta. Ecuaciones diferenciales transformables a una ecuación diferencial exacta (factor integrante). Líneas de campo.

8. Integrales múltiples

Definición de integral doble. Propiedades. Aplicaciones geométricas y físicas. Cambio de variables en integrales dobles. Jacobiano. Coordenadas Polares. Integrales triples. Cambio de variables. Jacobianos. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones geométricas y físicas.

9. Integrales de superficie

Definición de elemento de área. Área de una superficie en el espacio. Integral de superficie de un campo escalar. Orientación de una superficie. Flujo de un campo vectorial. Distintas expresiones para la integral de superficie.

10. Análisis vectorial

Teorema de Green. Su extensión a recintos múltiplemente conexos. Definición de divergencia y rotor de un campo vectorial. Operador nabla. Campos solenoidales e irrotacionales. Funciones armónicas. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Aplicaciones.